ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations

Research Article

Régularité du problème de Kelvin–Helmholtz pour l'équation d'Euler 2d

Vortex sheets regularity

Lebeau, Gilles

Centre de Mathématiques, École Polytechnique, France ; lebeau@polytechnique.fr.

Résumé

Nous prouvons que pour toute solution u du problème de Kelvin–Helmholtz des nappes de tourbillons pour l'équation d'Euler bi-dimensionnelle, définie localement en temps, la courbe de saut de u et la densité de tourbillon sont analytiques (sous une hypothèse de régularité Holderienne de la courbe de saut). Nous donnons également un résultat de régularité partielle de la trace de u sur t=0 lorsque u est définie sur un demi-interval [O,T[.

Abstract

We prove that for any solution u locally defined in time of the Kelvin–Helmholtz problem for the Euler 2d equation in the plane, then the curve of discontinuity of u and the density of the vortex sheet are analytic (under holder a priori estimates for the curve of discontinuity). We also give a partial result for a solution u defined in a half interval [O,T[.

(Received January 14 2002)

(Revised March 12 2002)

(Online publication August 15 2002)

Key Words:

  • Euler equation;
  • vortex sheets;
  • Kelvin–Helmholtz instability;
  • paradifferential calculus.

Mathematics Subject Classification:

  • 35Q05;
  • 35Q23;
  • 35Q24;
  • 35Q35;
  • 35Q57
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