Research Article

Stabilisation frontière de problèmes de Ventcel

Heminna, Amar

Institut de Mathématiques, USTHB, BP. 32, EL-Alia, 16111 Alger, Algérie ; hemina@usa.net.

Abstract

The problem of boundary stabilization for the isotropic linear elastodynamic system and the wave equation with Ventcel's conditions are considered (see [12]). The boundary observability and the exact controllability were etablished in [11]. We prove here the enegy decay to zero for the elastodynamic system with stationary Ventcel's conditions by introducing a nonlinear boundary feedback. We also give a boundary feedback leading to arbitrarily large energy decay rates for the elastodynamic system with evolutive Ventcel's conditions. A spectral study proves, finally, that the natural feedback is not sufficient to assure the exponential decay in the case of the wave equation with Ventcel's conditions.

Résumé

On considère le problème de la stabilisation frontière de problèmes de Ventcel pour le système linéaire isotrope de l'élasticité et pour l'équation des ondes (cf. [12]). L'observabilité et la contrôlabilité ont été établies dans [11]. On montre ici la décroissance vers zéro de l'énergie pour le système de l'élasticité avec conditions de Ventcel stationnaires par un feedback non linéaire ; on montre aussi la décroissance exponentielle arbitrairement grande de l'énergie de la solution du système de l'élasticité par des feedbacks frontières. On montre enfin, par une étude spectrale, que le feedback naturel est insuffisant pour assurer la décroissance exponentielle de l'énergie dans le cas de l'équation des ondes.

(Received November 29 1999)

(Revised June 9 2000)

(Revised July 17 2000)

(Revised August 29 2000)

(Revised September 25 2000)

(Online publication August 15 2002)

Key Words:

• Élasticité;
• ondes;
• problème de Ventcel;
• contrôlabilité;
• stabilisation.

Mathematics Subject Classification:

• 93B03;
• 93B05;
• 93D15