Regularization of linear least squares problems by total bounded variation

Abstract
We consider the least squares determination of a function u, in a closed convex set K, from a measure z of a quantity Tu related linearly to u. We regularize this problem by both the L2 norm of u (with coefficient alpha) and the Bounded Variation semi-norm of u (with coefficient beta). First we formulate necessary optimality conditions for this regularized problem. Then we show that it admits, for given alpha and beta, solutions which depend in a stable way of the data z. Finally, we study the asymptotic behaviour when alpha=beta -> 0 : the regularized solution converges as expected to the L2+BV minimum-norm solution of the unregularized problem. The rate of convergence is beta**1/2 when the minimum-norm solution is smooth enough.

Résumé
Nous considérons la détermination, au sens des moindres carrés, d'une fonction u dans un convexe fermé K à partir de la mesure z d'une quantité Tu dépendant linéairement de u. Nous régularisons ce problème par la norme L2 de u (coefficient alpha) et la semi-norme BV de la variation bornée de u (coefficient beta). Nous formulons d'abord les conditions d'optimalité du problème régularisé. Puis nous montrons qu'il admet, pour des valeurs données de alpha et beta, des solutions qui dépendent de façon stable des données z. Nous étudions enfin le comportement asymptotique lorsque alpha=beta -> 0 : comme on pouvait s'y attendre, les solutions régularisées convergent vers la solution de norme L2+BV minimale du problème non régularisé. Le taux de convergence est beta**1/2 lorsque la solution de norme minimale est sufisamment régulière.