Asymptotic analysis and control of a hybrid system composed by two vibrating strings connected by a point mass

Abstract

We consider a hybrid, one-dimensional, linear system consisting in two flexible strings connected by a point mass. It is known that this system presents two interesting features. First, it is well posed in an asymmetric space in which solutions have one more degree of regularity to one side of the point mass. Second, that the spectral gap vanishes asymptotically. We prove that the first property is a consequence of the second one. We also consider a system in which the point mass is replaced by a string of length 2ε and density 1/2ε. We show that, as ε → 0, the solutions of this system converge to those of the original one. We also analyze the convergence of the spectrum and obtain the well-posedness of the limit system in the asymmetric space as a consequence of non-standard uniform bounds of solutions of the approximate problems. Finally we consider the controllability problem. It is well known that the limit system with L-controls on one end is exactly controllable in an asymmetric space. We show how this result can be obtained as the limit when ε → 0 of partial controllability results for the approximate systems in which the number of controlled frequencies converges to infinity as ε → 0. This is done by means of some new results on non-harmonic Fourier series.

Résumé

On étudie un système hybride linéaire, à une dimension d'espace, composé de deux cordes connectées par une masse ponctuelle. Ce système a deux caractéristiques intéressantes : en premier lieu il est bien posé dans des espaces asymétriques où la régularité des solutions d'un côté et d'un autre de la masse diffère d'un ordre et d'autre part il n'y a pas séparation asymptotique du spectre. On montre que la première de ces propriétés est une conséquence de la deuxième. On étudie aussi un système approché où la masse est remplacée par une corde de longueur 2ε et de densité 1/2ε. On montre que lorsque ε → 0, la solution de ce système converge vers la solution du système limite. On analyse aussi la convergence du spectre et on montre que le système limite est bien posé en espaces asymétriques à partir de quelques estimations non standard des solutions des systèmes approchés. Finalement, on considère le problème de la contrôlabilité. Il est bien connu que le système limite, avec contrôles qui agissent sur une des extrémités, est exactement contrôlable dans des espaces asymétriques. On montre que ce résultat peut être obtenu comme la limite, lorsque ε → 0, des résultats partiels pour les systèmes approchés où le nombre de fréquences contrôlées converge vers l'infini lorsque ε → 0. La preuve précise quelques nouveaux résultats de la théorie des séries de Fourier non harmoniques.