Sub-Riemannian Metrics: Minimality of Abnormal Geodesics versus Subanalyticity

¹ Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences, Gubkina ul. 8, 117966 Moscow, Russia; andrei@agrachev.mian.su.
² SISSA, via Beirut 2-4, 34014 Trieste, Italy; agrachev@sissa.it.
³ Department of Mathematics, University of Aveiro 3810-193 Aveiro, Portugal; ansar@mat.ua.pt.

Received: 23 October 1998
Revised: 31 May 1999

Abstract

We study sub-Riemannian (Carnot-Caratheodory) metrics defined by noninvolutive distributions on real-analytic Riemannian manifolds. We establish a connection between regularity properties of these metrics and the lack of length minimizing abnormal geodesics. Utilizing the results of the previous study of abnormal length minimizers accomplished by the authors in [Annales IHP. Analyse nonlinéaire 13 , p. 635-690] we describe in this paper two classes of the germs of distributions (called 2-generating and medium fat) such that the corresponding sub-Riemannian metrics are subanalytic. To characterize these classes of distributions we determine the dimensions of the manifolds on which generic germs of distributions of given rank are respectively 2-generating or medium fat.

Résumé

On étudie des métriques sous-Riemanniennes (des Carnot-Carathéodory) définies par les distributions non involutives sur les variétés Riemanniennes analytiques réelles. On établie la connexion entre les propriétés de la régularité de ces métriques et l'absence des géodésiques anormales de longueur minimale. En utilisant les résultats des études précédentes sur les minimiseurs anormaux accomplies par les auteurs dans [Annales IHP. Analyse nonlinéaire 13 , p. 635-690], on décrit dans cet article, pour certains types des germes, des distributions (appelées 2-générées et d'une croissance moyenne) telles que les métriques sous-Riemanniennes correspondantes sont sous-analytiques. Pour caractériser la classe de ces types des distributions, on détermine les dimensions des variétés sur lesquelles les germes génériques des distributions du rang donné sont 2-générées ou d'une croissance moyenne.