On the normal variations of a domain

¹ (bresch@ucfma.univ-bpclermont.fr)
² (simon@ucfma.univ-bpclermont.fr)

Abstract

In domain optimization problems, normal variations of a reference domain are frequently used. We prove that such variations do not preserve the regularity of the domain. More precisely, we give a bounded domain which boundary is m times differentiable and a scalar variation which is infinitely differentiable such that the deformed boundary is only m-1 times differentiable. We prove in addition that the only normal variations which preserve the regularity are those with constant magnitude. This shows that the use of normal variations in an iterative approximation method for domain optimization generates a loss of regularity at each iteration, and thus it is better to use transverse variations which preserve the regularity of the domain.

Résumé

Les variations normales d'un domaine de référence sont fréquemment utilisées dans les problèmes d'optimisation de forme. On montre que de telles variations ne préservent pas la régularité du domaine. Plus précisément, on exhibe un domaine borné dont la frontière est m fois dérivable et une variation scalaire infiniment différentiable tels que la frontière déformée ne soit que m-1 fois dérivable. On montre également que les seules variations normales qui préservent la régularité sont celles d'amplitude constante. Ceci montre que l'utilisation des variations normales dans une méthode itérative d'approximation pour la recherche d'un domaine optimal entraîne une perte de régularité à chaque itération, de sorte qu'il est préférable d'utiliser les variations transverses qui, elles, conservent la régularité du bord.