Sub-Riemannian sphere in Martinet flat case

¹ agrachev@mi.ras.ru
² bbonnard@u-bourgogne.fraddress
³ chyba@sunny.unige.ch
⁴ kupka@mathp6.jussieu.fr

Abstract

This article deals with the local sub-Riemannian geometry on ℜ³, (D,g) where D is the distribution ker ω, ω being the Martinet one-form : dz - ½y²dxand g is a Riemannian metric on D. We prove that we can take g as a sum of squares adx² + cd². Then we analyze the flat case where a = c = 1. We parametrize the set of geodesics using elliptic integrals. This allows to compute the exponential mapping, the wave front, the conjugate and cut loci and the sub-Riemannian sphere. A direct consequence of our computations is to show that the sphere and the distance function are not sub-analytic. Some of these computations are generalized to a one parameter deformation of the flat case.

Résumé

Dans cet article on étudie le problème sous-riemannien local de ℜ³, (D,g) où D est la distribution de Martinet ker omega et g est une métrique riemannienne sur D. On montre que l'on peut supposer que g est une somme de carrés. On analyse ensuite en détail le cas dit plat. On paramétrise l'ensemble des géodésiques en utilisant des intégrales elliptiques. Cette représentation permet de calculer l'application exponentielle, le front d'onde, le lieu conjugué et de coupure, et la sphère sous-riemannienne. Il résulte de ce calcul que la sphère et la fonction distance ne sont pas sous-analytiques. On généralise une partie de ces calculs à une déformation à un paramètre du cas plat où la géodésique anormale est strictement anormale.