Controls insensitizing the norm of the solution of a semilinear heat equation in unbounded domains

Abstract

We consider a semilinear heat equation in an unbounded domain Ω with partially known initial data. The insensitizing problem consists in finding a control function such that some functional of the state is locally insensitive to the perturbations of these initial data. For bounded domains Bodart and Fabre proved the existence of insensitizing controls of the norm of the observation of the solution in an open subset of the domain. In this paper we prove similar results when Ω is unbounded. We consider the problem in bounded domains of the form Ω_r = Ω ∩ B_r where B_r denotes the ball centered in zero of radius r We show that for r large enough the control proposed by Bodart and Fabre for the problem in Ω_r, provides an insensitizing control for our problem in Ω.

Résumé

On considère une équation de la chaleur semi-linéaire dans un ouvert non borné lorsque les données initiales ne sont que partiellement connues. Le problème d'insensibilité consiste à trouver un contrôle tel qu'une fonctionnelle définie sur l'ensemble d'états solutions soit localement insensible aux perturbations des données initiales. Pour les domaines bornés, Bodart et Fabre ont démontré l'existence d'un contrôle insensibilisant la norme de la solution sur un sous-ensemble du domaine. Ici, on démontre un résultat semblable quand le domaine est non borné. On considère le problème dans des domaines qui sont l'intersection d'une boule centrée en zéro avec le domaine d'origine. On montre que si le rayon de la boule est suffisamment grand, le contrôle proposé par Bodart et Fabre nous fournit un contrôle insensibilisant pour notre problème dans le domaine non borné.