Méthodes géométriques et analytiques pour étudier l'application exponentielle, la sphère et le front d'onde en géométrie sous-riemannienne dans le cas Martinet

¹ Université de Bourgogne, Laboratoire de Topologie, UMR 5584 du CNRS, BP. 400, 21004 Dijon Cedex France; bbonnard@u-bourgogne.fr.
² Université de Paris VI, Case 247, 4 place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, France; chyba@sunny.unige.ch.

Received: 3 June 1998
Revised: 19 March 1999

Abstract

Consider a sub-riemannian geometry (U,D,g) where U is a neighborhood of 0 in R³, D is a Martinet type distribution identified to ker ω, ω being the 1-form: , q=(x,y,z) and g is a metric on D which can be taken in the normal form: , a=1+yF(q), c=1+G(q), . In a previous article we analyze the flat case: a=c=1; we describe the conjugate and cut loci, the sphere and the wave front. The objectif of this article is to provide a geometric and computational framework to analyze the general case. This frame is obtained by analysing three one parameter deformations of the flat case which clarify the role of the three parameters in the gradated normal form of order 0 where: , . More generally this analysis provides an explanation of the role of abnormal minimizers in SR-geometry.

Résumé

Considérons un problème sous-riemannien local (U,D,g) où U désigne un voisinage de 0 dans R³, D est une distribution de type Martinet identifiée à ker ω, où ω est la 1-forme : , q=(x,y,z) et g est une métrique sur D dont une forme normale est : , a=1+yF(q), c=1+G(q), . Dans un précédent article on a analysé le cas dit plat où a=c=1; on a décrit le lieu conjugué, le lieu de coupure, la sphère et le front d'onde. L'objectif de cet article est de fournir un cadre géométrique et calculatoire pour étudier le cas général. Ce cadre est obtenu à partir de l'analyse de trois déformations à un paramètre du cas plat, qui clarifie le rôle des trois paramètres dans la forme normale graduée d'ordre 0 : , . Enfin cette étude fournit une bonne explication du rôle des géodésiques anormales minimisantes en géométrie SR.