Approximate controllability and its well-posedness for the semilinear reaction-diffusion equation with internal lumped controls

Department of Pure and Applied Mathematics, Washington State University, Pullman, WA 99164-3113, USA; khapala@delta.math.wsu.edu.

Received: 22 April 1997
Revised: 24 June 1998

Abstract

We consider the one dimensional semilinear reaction-diffusion equation, governed in Ω = (0,1) by controls, supported on any subinterval of (0, 1), which are the functions of time only. Using an asymptotic approach that we have previously introduced in [9], we show that such a system is approximately controllable at any time in both L²(0,1)( and C₀[0,1], provided the nonlinear term f = f(x,t, u) grows at infinity no faster than certain power of log |u|. The latter depends on the regularity and structure of f (x, t, u) in x and t and the choice of the space for controllability. We also show that our results are well-posed in terms of the “actual steering” of the system at hand, even in the case when it admits non-unique solutions.

Résumé


On étudie l'équation de la chaleur semi-linéaire sur l'intervalle (0,1) avec des contrôles internes sur un sous-intervalle et qui ne sont que des fonctions du temps. Utilisant une approche asymptotique que nous avons précédemment introduite dans [9], on montre la contrôlabilité approchée pour tout temps à la fois dans L²(0,1) et dans C₀[0,1] si le terme non linéaire f = f(x,t, u) ne croit pas plus vite qu'une certaine puissance de log |u|. Celle-ci dépend de la régularité et de la structure de f (x, t, u) par rapport à x et t et du choix de l'espace pour la contrôlabilité. On montre aussi que nos résultats permettent de piloter le système considéré, même dans le cas où l'on n'a pas unicité des solutions.