Issue |
ESAIM: COCV
Volume 8, 2002
A tribute to JL Lions
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Page(s) | 1007 - 1028 | |
DOI | https://doi.org/10.1051/cocv:2002041 | |
Published online | 15 August 2002 |
A Posteriori Error Estimation for Reduced-Basis Approximation of Parametrized Elliptic Coercive Partial Differential Equations: “Convex Inverse” Bound Conditioners
1
Massachusetts Institute of Technology,
Department of Civil and Environmental Engineering, Room 3-264, Cambridge, MA
02139-4307, U.S.A.
2
Massachusetts Institute of Technology,
Department of Mechanical Engineering, Room 3-264, Cambridge, MA
02139-4307, U.S.A.
3
Massachusetts Institute of Technology,
Department of Mechanical Engineering, Room 3-266, Cambridge, MA
02139-4307, U.S.A.; patera@MIT.EDU.
Received:
13
February
2002
We present a technique for the rapid and reliable prediction of linear-functional outputs of elliptic coercive partial differential equations with affine parameter dependence. The essential components are (i ) (provably) rapidly convergent global reduced-basis approximations – Galerkin projection onto a space WN spanned by solutions of the governing partial differential equation at N selected points in parameter space; (ii ) a posteriori error estimation – relaxations of the error-residual equation that provide inexpensive bounds for the error in the outputs of interest; and ( iii ) off-line/on-line computational procedures – methods which decouple the generation and projection stages of the approximation process. The operation count for the on-line stage – in which, given a new parameter value, we calculate the output of interest and associated error bound – depends only on N (typically very small) and the parametric complexity of the problem; the method is thus ideally suited for the repeated and rapid evaluations required in the context of parameter estimation, design, optimization, and real-time control. In our earlier work we develop a rigorous a posteriori error bound framework for reduced-basis approximations of elliptic coercive equations. The resulting error estimates are, in some cases, quite sharp: the ratio of the estimated error in the output to the true error in the output, or effectivity , is close to (but always greater than) unity. However, in other cases, the necessary “bound conditioners” – in essence, operator preconditioners that (i ) satisfy an additional spectral “bound” requirement, and (ii ) admit the reduced-basis off-line/on-line computational stratagem – either can not be found, or yield unacceptably large effectivities. In this paper we introduce a new class of improved bound conditioners: the critical innovation is the direct approximation of the parametric dependence of the inverse of the operator (rather than the operator itself); we thereby accommodate higher-order (e.g., piecewise linear) effectivity constructions while simultaneously preserving on-line efficiency. Simple convex analysis and elementary approximation theory suffice to prove the necessary bounding and convergence properties.
Résumé
Nous présentons une technique pour la prédiction rapide et sûre de sorties – fonctionnelles linéaires – d'équations coercives aux dérivées partielles avec une dépendance affine en fonction des paramètres. Les composantes essentielles sont (i ) approximations globales par bases-réduites rapidement convergentes – projection de Galerkin sur un espace WN engendré par les solutions de l'équation aux dérivées partielles à N points sélectionnés dans l'espace des paramètres ; (ii ) estimation d'erreur a posteriori – relaxations de l'équation de l'erreur qui fournissent des bornes peu coûteuses pour l'erreur effectuée sur la sortie d'intérêt ; et (iii ) procédures de calcul en différé/en ligne – méthodes qui découplent l'étape de génération de l'étape de projection de l'approximation. Le décompte des opérations pour l'étape en ligne – dans laquelle, étant donnée une nouvelle valeur du paramètre, nous calculons la sortie d'intérêt et les bornes de l'erreur associées – dépend uniquement de N (typiquement très petit) et de la complexité paramétrique du problème ; la méthode est ainsi idéalement applicable pour des évaluations répétées et rapides dans un contexte d'estimation de paramètre, de design, d'optimisation, et de contrôle temps réel. Dans nos travaux précédents, nous avons développé un cadre rigoureux a posteriori pour les bornes de l'erreur due à l'approximation par bases-réduites d'équations elliptiques coercives. Les estimations d'erreur résultantes sont, dans certains cas, très précis : le rapport entre l'erreur estimée et la véritable erreur effectuée sur la sortie, encore appelée efficacité, est proche de (mais toujours plus grande que) l'unité. Cependant, dans d'autres contextes, les “conditioneurs pour les bornes” – essentiellement des opérateurs/préconditioneurs qui (i ) satisfont une condition spectrale “borne” supplémentaire, et (ii ) admettent le stratagème de calcul bases-réduites en différé/en ligne – peuvent soit ne pas être trouvés soit impliquent des efficacités larges inacceptables. Dans ce papier, nous introduisons une nouvelle classe de conditioneurs pour les bornes améliorés : l'innovation essentielle est l'approximation directe de la dépendance paramétrique de l'inverse de l'opérateur (plutôt que celle de l'opérateur elle-même) ; de ce fait nous facilitons la construction d'ordre élevée (e.g. linéaires par morceaux) de l'efficacité tout en préservant les performances de l'étape en ligne. Une analyse de convexité simple et un usage élémentaire de théorie de l'approximation sont suffisantes à prouver les propriétés nécessaires de convergence et de bornes.
Mathematics Subject Classification: 35J50 / 65N15
Key words: Elliptic partial differential equations / reduced-basis methods / output bounds / Galerkin approximation / a posteriori error estimation / convex analysis.
© EDP Sciences, SMAI, 2002
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