Slice convergence: stabilité et optimisation dans les espaces non réflexifs

Slice Convergence: Stability and optimization in nonreflexive spaces

Laboratoire d'Analyse Convexe et Variationnelle, Systèmes Dynamiques et Processus Stochastiques, Département de   Mathématiques, Faculté des Sciences, Université Ibn Tofail, BP 133, Kénitra, Maroc; elhajkhalid@hotmail.com.; d_mentagui@hotmail.com.

Reçu : 22 Janvier 2003

Résumé

Il est démontré par Mentagui [ESAIM: COCV 9 (2003) 297-315] que, dans le cas des espaces de Banach généraux, la convergence d'Attouch-Wets est stable par une classe d'opérations classiques de l'analyse convexe, lorsque les limites des suites d'ensembles et de fonctions satisfont certaines conditions de qualification naturelles. Ceci tombe en défaut avec la slice convergence. Dans cet article, nous établissons des conditions de qualification uniformes assurant la stabilité de la slice convergence et de la slice convergence duale par les mêmes opérations, dont le rôle est fondamental en optimisation convexe. Nous obtenons comme conséquences certains résultats clés de stabilité de l'épi-convergence établis par Mc Linden et Bergstrom [Trans. Amer. Math. Soc. 286 (1981) 127-142] en dimension finie. Comme application, nous présentons un modèle de convergence et de stabilité recouvrant une large classe de problèmes en optimisation convexe et en théorie de la dualité. Les éléments clés dans notre démarche sont l'analyse d'horizon, les notions de quasi-continuité et d'inf-locale compacité des fonctions convexes, puis la bicontinuité de la transformation de Legendre-Fenchel relativement à la slice convergence et la slice convergence duale.

Abstract

It is shown by Mentagui [ESAIM: COCV 9 (2003) 297-315] that, in the case of general Banach spaces, the Attouch-Wets convergence is stable by a class of classical operations of convex analysis, when the limits satisfy some natural qualification conditions. This fails with the slice convergence. We establish here uniform qualification conditions ensuring the stability of the slice convergence under the same operations which play a basic role in convex optimization. We obtain as consequences, some key stability results of epi-convergence established by Mc Linden and Bergstrom [Trans. Amer. Math. Soc. 286 (1981) 127-142] in finite dimension. As an application, we give a model of convergence and stability for a wide class of problems in convex optimization and duality theory. The key ingredients in our methodology are, the horizon analysis, the notions of quasi-continuity and inf-local compactness of convex functions, and the bicontinuity of the Legendre-Fenchel transform relatively to the slice convergence.