A least-squares method for the numerical solution of the Dirichlet problem for the elliptic monge − ampère equation in dimension two^∗

¹ Haute École de Gestion/Geneva School of Business Administration, Genève, Switzerland
alexandre.caboussat@hesge.ch
² University of Houston, Department of Mathematics, 4800 Calhoun Rd, Houston, 77204-3008 Texas, USA
caboussat@math.uh.edu
³ University of Houston, Department of Mathematics, 4800 Calhoun Rd, Houston, 77204-3008 Texas, USA
roland@math.uh.edu
⁴ Rice University, Department of Computational and Applied Mathematics, MS 134, Houston, 77251-1892 Texas, USA
sorensen@rice.edu

Received: 31 January 2011
Revised: 21 August 2012

Abstract

We address in this article the computation of the convex solutions of the Dirichlet problem for the real elliptic Monge − Ampère equation for general convex domains in two dimensions. The method we discuss combines a least-squares formulation with a relaxation method. This approach leads to a sequence of Poisson − Dirichlet problems and another sequence of low dimensional algebraic eigenvalue problems of a new type. Mixed finite element approximations with a smoothing procedure are used for the computer implementation of our least-squares/relaxation methodology. Domains with curved boundaries are easily accommodated. Numerical experiments show the convergence of the computed solutions to their continuous counterparts when such solutions exist. On the other hand, when classical solutions do not exist, our methodology produces solutions in a least-squares sense.

Résumé

Nous étudions, dans cet article, une méthode numérique, pour le calcul des solutions convexes du problème de Dirichlet pour l’équation de Monge − Ampère elliptique, dans des domaines bi-dimensionnel convexes. Une méthode de moindres carrés est couplée à un algorithme de relaxation, conduisant à la résolution d’une suite de problèmes de Poisson − Dirichlet, et d’une suite de problèmes de valeurs propres de petite dimension d’un type nouveau. Une approximation par éléments finis mixtes, couplée à une méthode de régularisation, est utilisée pour implémenter la méthode de moindres-carrés/relaxation ci-dessus, de sorte que les domaines avec frontière courbe sont traités facilement. Des expériences numériques montrent la convergence des solutions calculées vers la solution convexe du problème continu, lorsqu’une telle solution existe. Par ailleurs, si le problème n’a pas de solution classique, notre méthodologie fournit des solutions au sens des moindres carrés.