Multi-phase structural optimization via a level set method^∗,∗∗

¹ CMAP, UMR 7641, Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau, France
² UPMC Univ Paris 06, UMR 7598, Laboratoire J.-L. Lions, 75005 Paris, France
dapogny@ann.jussieu.fr
³ Renault DREAM-DELT’A, Guyancourt, France
⁴ EADS Innovation Works, Suresnes, France

Received: 18 June 2013
Revised: 2 October 2013

Abstract

We consider the optimal distribution of several elastic materials in a fixed working domain. In order to optimize both the geometry and topology of the mixture we rely on the level set method for the description of the interfaces between the different phases. We discuss various approaches, based on Hadamard method of boundary variations, for computing shape derivatives which are the key ingredients for a steepest descent algorithm. The shape gradient obtained for a sharp interface involves jump of discontinuous quantities at the interface which are difficult to numerically evaluate. Therefore we suggest an alternative smoothed interface approach which yields more convenient shape derivatives. We rely on the signed distance function and we enforce a fixed width of the transition layer around the interface (a crucial property in order to avoid increasing “grey” regions of fictitious materials). It turns out that the optimization of a diffuse interface has its own interest in material science, for example to optimize functionally graded materials. Several 2-d examples of compliance minimization are numerically tested which allow us to compare the shape derivatives obtained in the sharp or smoothed interface cases.

Résumé

Cet article traite de la répartition optimale de plusieurs matériaux élastiques au sein d’un domaine de travail donné. L’optimisation de la géométrie et de la topologie du mélange s’appuie sur une description de l’interface entre différentes phases utilisant la méthode des lignes de niveaux. On présente et compare plusieurs approches, basées sur la méthode de variation de frontière de Hadamard, pour le calcul de dérivées de formes, et la conception d’algorithmes de gradient de forme. Lorsque la frontière entre différentes phases est modélisée par une interface abrupte, la dérivée de forme du problème s’exprime en fonction des sauts de quantités discontinues à travers l’interface, qui sont difficiles eà´valuer avec précision d’un point de vue numérique. Pour cette raison, on propose une alternative à cette modélisation du problème, qui fait intervenir une interface diffuse et donne lieu à des dérivées de formes plus amènes au traitement numérique. L’idée principale de cette approche est d’employer une fonction de distance signée pour imposer une épaisseur fixe à la zone de transition entre matériaux (ce qui est une propriété cruciale si l’on veut éviter l’apparition de zones intermédiaires, composées de matériaux factices). Il s’avère que le problème d’optimisation d’une interface diffuse présente un intérêt propre, en dehors du fait qu’il est une approximation du problème où l’ interface est décrite comme abrupte, par exemple en optimisation de matériaux à gradient de propriétés fonctionnelles. On présente plusieurs exemples numériques de minimisation de la compliance permettant la comparaison des différentes dérivées de formes obtenues.