Exact boundary controllability for the Korteweg-de Vries equation on a bounded domain

Abstract

The exact boundary controllability of linear and nonlinear Korteweg-de Vries equation on bounded domains with various boundary conditions is studied. When boundary conditions bear on spatial derivatives up to order 2, the exact controllability result by Russell-Zhang is directly proved by means of Hilbert Uniqueness Method. When only the first spatial derivative at the right endpoint is assumed to be controlled, a quite different analysis shows that exact controllability holds too. From this last result we derive the exact boundary controllability for nonlinear KdV equation on bounded domains, for sufficiently small initial and final states.

Résumé

La contrôlabilité exacte frontière de l'équation de Korteweg-de Vries (linéaire ou non-linéaire) est étudiée sous diverses conditions au bord. Lorsque les conditions au bord portent sur les dérivées spatiales jusqu'à l'ordre 2, le résultat de contrôlabilité exacte de Russell-Zhang est obtenu directement à l'aide de la méthode H.U.M. Lorsque seule la première dérivée spatiale à l'extrémité droite de l'intervalle est supposée contrôlée, une méthode un peu différente montre que la contrôlabilité exacte de l'équation linéaire de KdV a également lieu. A partir de ce dernier résultat nous obtenons la contrôlabilité exacte frontière de l'équation non-linéaire de KdV sur des domaines bornés, pour des données initiales et finales suffisamment petites.