Smooth homogeneous asymptotically stabilizing feedback controls

Abstract

If a smooth nonlinear affine control system has a controllable linear approximation, a standard technique for constructing a smooth (linear) asymptotically stabilizing feedbackcontrol is via the LQR (linear, quadratic, regulator) method. The nonlinear system may not have a controllable linear approximation, but instead may be shown to be small (or large) time locally controllable via a high order, homogeneous approximation. In this case one can attempt to construct an asymptotically stabilizing feedback control as the optimal control, relative to a cost functional with homogeneous integrand, for the approximating system. Necessary, and some sufficient, conditions for the existence of a smooth (real analytic), stabilizing feedback control of this form are given. For some systems which satisfy these necessary conditions, the specific form of a stabilizing control is established.

Résumé

Si un système régulier non linéaire, affine en la commande, a une approximation linéaire commandable, une technique classique pour construire un feedback régulier (linéaire) asymptotiquement stabilisant est l'utilisation de la méthode RLQ (Régulateur Linéaire Quadratique). Toutefois le système peut avoir une approximation linéaire non commandable, mais peut être localement commandable en temps petit (ou grand) du fait d'une approximation homogène d'ordre plus élevé. Dans ce cas on peut essayer de construire un feedback asymptotiquement stabilisant en considérant un problème de contrôle optimal, avec un coût homogène, pour l'approximation homogène. Des conditions nécessaires, ainsi que des conditions suffisantes, sont données pour l'existence de feedbacks réguliers (analytiques réels) de cette forme. Pour des approximations homogènes satisfaisant ces conditions nécessaires, la forme spécifique d'un feedback stabilisant est établie.