Boundary layer tails in periodic homogenization

¹ Laboratoire d'Analyse Numérique, Université Pierre et Marie Curie, Paris VI, Tour 55–65, 4 place Jussieu, 70005 Paris, France; allaire@ann.jussieu.fr.
² Dipartimento Me.Mo.Mat, Università “La Sapienza" - Roma, Via A. Scarpa 16, 00161 Roma, Italy; amar@dmmm.uniroma1.it.

Received: 31 August 1998
Revised: 21 January 1999

Abstract

This paper focus on the properties of boundary layers in periodic homogenization in rectangular domains which are either fixed or have an oscillating boundary. Such boundary layers are highly oscillating near the boundary and decay exponentially fast in the interior to a non-zero limit that we call boundary layer tail. The influence of these boundary layer tails on interior error estimates is emphasized. They mainly have two effects (at first order with respect to the period ε): first, they add a dispersive term to the homogenized equation, and second, they yield an effective Fourier boundary condition.

Résumé

Cet article est consacré à l'étude des couches limites en homogénéisation périodique dans des domaines rectangulaires qui, soit sont fixes, soit possèdent une frontière oscillante. Ces couches limites sont très oscillantes près du bord et décroissent exponentiellement vite à l'intérieur vers une limite non nulle que nous appelons queue de couche limite. L'influence de ces queues de couches limites pour l'obtention d'estimations d'erreur intérieures est mise à jour. Elles ont pour effets principaux (au premier ordre en ε, la période) : premièrement, d'ajouter un terme dispersif dans l'équation homogénéisée, deuxièmement, de conduire à une condition aux limites effective de type Fourier.