A new method to obtain decay rate estimates for dissipative systems

Département de Mathématiques, ENS Cachan, Antenne de Bretagne and IRMAR, Université Rennes I, Campus de Ker Lann, 35170 Bruz, France; martinez@bretagne.ens-cachan.fr.

Received: 26 March 1998
Revised: 28 October 1998
Revised: 2 April 1999

Abstract

We consider the wave equation damped with a boundary nonlinear velocity feedback p(u'). Under some geometrical conditions, we prove that the energy of the system decays to zero with an explicit decay rate estimate even if the function ρ has not a polynomial behavior in zero. This work extends some results of Nakao, Haraux, Zuazua and Komornik, who studied the case where the feedback has a polynomial behavior in zero and completes a result of Lasiecka and Tataru. The proof is based on the construction of a special weight function (that depends on the behavior of the function ρ in zero), and on a new nonlinear integral inequality.

Résumé

On considère l'équation des ondes stabilisée par un terme d'amortissement non linéaire p(u') dépendant de la vitesse et agissant sur la frontière. Sous certaines conditions géométriques, on prouve que l'énergie du système décroît vers zéro avec une estimation explicite de décroissance même si la fonction ρ n'a pas un comportement polynomial en zéro. Ce travail étend des résultats de Nakao, Haraux, Zuazua et Komornik, qui ont étudié le cas où le terme d'amortissement a un comportement polynomial en zéro, et complète un résultat de Lasiecka et Tataru. La preuve est basée sur la construction d'une fonction poids spéciale (qui dépend du comportement de la fonction ρ en zéro), et sur une nouvelle inégalité intégrale non linéaire.