Patchy Vector Fields and Asymptotic Stabilization

¹ Dipartimento di Matematica and CIRAM, Università di Bologna, piazza Porta S. Donato 5, Bologna 40127, Italy; ancona@ciram3.ing.unibo.it.
² S.I.S.S.A., via Beirut 4, Trieste 34014, Italy; bressan@sissa.it.

Received: 22 December 1998
Revised: 15 May 1999

Abstract

This paper is concerned with the structure of asymptotically stabilizing feedbacks for a nonlinear control system on . We first introduce a family of discontinuous, piecewise smooth vector fields and derive a number of properties enjoyed by solutions of the corresponding O.D.E's. We then define a class of “patchy feedbacks” which are obtained by patching together a locally finite family of smooth controls. Our main result shows that, if a system is asymptotically controllable at the origin, then it can be stabilized by a piecewise constant patchy feedback control.

Résumé

Dans cet article, on considère la structure de lois de feedback qui stabilisent asymptotiquement un système de contrôle non linéaire. Nous étudions une famille de champs de vecteurs discontinus, réguliers par morceaux, et démontrons de nombreuses propriétés satisfaites par les équations différentielles ordinaires correspondantes. En outre, nous définissons une classe de “feedbacks rapiécés" qui sont obtenus par la superposition d'une famille localement finie de contrôles réguliers. Notre résultat principal montre que, si le système est asymptotiquement contrôlable à l'origine, alors il peut être stabilisé par un “feedback rapiécé", constant par morceaux.