Stability results for some nonlinear elliptic equations involving the p-Laplacian with critical Sobolev growth

¹ ENS Cachan, Antenne de Bretagne, Campus de Ker Lann, 35170 Bruz, France.
² Université de Cergy-Pontoise, Département de Mathématiques, 2 avenue Adolphe Chauvin, 95302 Cergy-Pontoise, France.

Received: 10 July 1998
Revised: 4 December 1998

Abstract

This article is devoted to the study of a perturbation with a viscosity term in an elliptic equation involving the p-Laplacian operator and related to the best contant problem in Sobolev inequalities in the critical case. We prove first that this problem, together with the equation, is stable under this perturbation, assuming some conditions on the datas. In the next section, we show that the zero solution is strongly isolated in some sense, among the space of the solutions. Actually, we end the paper by giving some analoguous results in the case where the datas present symmetries.

Résumé

Dans cet article, l'auteur se propose d'étudier une perturbation de type visqueux dans une équation elliptique contenant l'opérateur du p-Laplacien, et provenant d'un problème de meilleure constante pour les inégalités de Sobolev dans le cas critique. Nous montrons ici que ce problème, ainsi que l'équation associée est stable sous cette perturbation, moyennant quelques hypothèses sur les données. Dans la suite, nous prouvons que la solution identiquement nulle est, dans un certain sens, isolée dans l'espace des solutions. Enfin, nous terminons cette étude par des résultats analogues dans le cas où les données possèdent des symétries.