Relaxation of singular functionals defined on Sobolev spaces

¹ Département de Mathématiques, Institut Préparatoire aux Études d'Ingénieurs de Sfax, Route Menzel Chaker - Km 0,5, BP. 805, 3000 Sfax, Tunisia; Fax: (00-216) 4. 246. 347.
² Max-Planck Institute for Mathematics in the Sciences, Inselstr. 22-26, 04103 Leipzig, Germany; Hafedh.Belgacem@mis.mpg.de.

Received: 1 December 1998
Revised: 17 November 1999

Abstract

In this paper, we consider a Borel measurable function on the space of matrices taking the value , such that its rank-one-convex envelope is finite and satisfies for some fixed : where . Let be a given regular bounded open domain of . We define on the functional Then, under some technical restrictions on , we show that the relaxed functional for the weak topology of has the integral representation: where for a given function , denotes its quasiconvex envelope.

Résumé

On considère une fonction Borel mesurable qui prend la valeur , dont l'enveloppe rang-1-convexe Rf est finie et satisfait pour un certain p>1, avec fixés. Étant donné un ouvert borné Ω de , on introduit la fonctionnelle pour . On montre alors sous quelques hypothèses supplémentaires concernant f, que la relaxée de I pour la topolgie faible de admet la représentation suivante : où pour une fonction donnée g, Qg désigne son enveloppe quasi-convexe.