Regularization of linear least squares problems by total bounded variation

¹ Guy.Chavent@inria.fr
² Karl.Kunisch@kfunigraz.ac.at

Abstract

We consider the problem : (P) Minimize over u ∈ K ∩ X, where α≥ 0, β > 0, K is a closed convex subset of L²(Ω), and the last additive term denotes the BV-seminorm of u, T is a linear operator from L² ∩ BV into the observation space Y. We formulate necessary optimality conditions for (P). Then we show that (P) admits, for given regularization parameters α and β, solutions which depend in a stable manner on the data z. Finally we study the asymptotic behavior when α = β → 0. The regularized solutions û_β of (P) converge to the L² ∩ BV minimal norm solution of the unregularized problem. The rate of convergence is β^½ when the minimum-norm solution û is smooth enough.

Résumé

Nous considérons la détermination, au sens des moindres carrés, d'une fonction u dans un convexe fermé K à partir de la mesure z d'une quantité Tu dépendant linéairement de u. Nous régularisons ce problème par la norme L2 de u (coefficient alpha) et la semi-norme BV de la variation bornée de u (coefficient beta). Nous formulons d'abord les conditions d'optimalité du problème régularisé. Puis nous montrons qu'il admet, pour des valeurs données de alpha et beta, des solutions qui dépendent de façon stable des données z. Nous étudions enfin le comportement asymptotique lorsque alpha=beta –> 0 : comme on pouvait s'y attendre, les solutions régularisées convergent vers la solution de norme L2+BV minimale du problème non régularisé. Le taux de convergence est beta**1/2 lorsque la solution de norme minimale est sufisamment régulière.