Infinite time regular synthesis

(piccoli@sissa.it)

Abstract

In this paper we provide a new sufficiency theorem for regular syntheses. The concept of regular synthesis is discussed in [12], where a sufficiency theorem for finite time syntheses is proved. There are interesting examples of optimal syntheses that are very regular, but whose trajectories have time domains not necessarily bounded. The regularity assumptions of the main theorem in [12] are verified by every piecewise smooth feedback control generating extremal trajectories that reach the target in finite time with a finite number of switchings. In the case of this paper the situation is even more complicate, since we admit both trajectories with finite and infinite time. We use weak differentiability assumptions on the synthesis and weak continuity assumptions on the associated value function.

Résumé

Dans cet article, on établit une nouvelle condition suffisante pour l'optimalité d'une synthèse régulière. Le concept de synthèse régulière est traité dans [12] où est prouvée une condition suffisante pour l'optimalité d'une synthèse régulière en temps fini. Il existe des exemples intéressants de synthèses optimales très régulières mais dont les trajectoires sont définies sur des domaines non bornés. Les hypothèses de régularité du théorème principal de [12] sont vérifiées pour toute commande par retour d'état régulière par morceaux et qui engendre des trajectoires extrémales atteignant la cible en temps fini avec un nombre fini de commutations. La situation présente est plus compliquée car des trajectoires avec des domaines bornés ou non sont permises. Des hypothèses faibles de différentiabilité pour la synthèse et de continuité pour la fonction valeur sont proposées.