On the optimal control of implicit systems

(petit@labomath.univ-orleans.fr)

Abstract

In this paper we consider the well-known implicit Lagrange problem: find a trajectory solution of an underdetermined implicit differential equation, satisfying some boundary conditions and which is a minimum of the integral of a Lagrangian. In the tangent bundle of the surrounding manifold X, we define the geometric framework of q-pi- submanifold. This is an extension of the geometric framework of pi- submanifold, defined by Rabier and Rheinboldt for determined implicit differential equations, to underdetermined implicit differential equations. With this geometric framework we define a class of well-posed implicit differential equations for which we locally obtain, by means of a reduction procedure, a controlled vector field on a submanifold W of the surrounding manifold X. We then show that the implicit Lagrange problem leads to, locally, an explicit optimal control problem on the submanifold W for which the Pontryagin maximum principle is naturally used.

Résumé

Dans cet article nous considérons le problème de Lagrange implicite : trouver une trajectoire solution d'une équation différentielle implicite sous-déterminée, vérifiant des conditions aux bords et qui minimise l'intégrale d'un Lagrangien. Nous définissons, dans le fibré tangent d'une variété ambiante X, le cadre géométrique des q-pi- sous-variétés. C'est une extension, aux équations différentielles implicites sous-déterminées, du cadre géométrique des pi- sous-variétés défini par Rabier et Rheinboldt pour les équations différentielles implicites déterminées. Avec ce cadre géometrique, nous définissons une classe d'équations différentielles implicites bien posées pour lesquelles nous obtenons, localement, au moyen d'une procédure de réduction, un champ de vecteurs commandé sur une sous-variété W de la variété ambiante X. Nous montrons ensuite comment le problème de Lagrange implicite donne, localement, un problème de commande optimale explicite pour lequel le principe du maximum de Pontriaguine est naturellement utilisé.