Semi-continuité inférieure d'intégrales multiples et d'intégrandes convergentes

Abstract

Lower semicontinuity of multiple integrals ∫_Ω ƒ(x,u_α,P_α)d_µ and ∫_Ω ƒ_α(x,u_α,P_α)d_µ are studied. It is proved that the two can derive from each other under certain general hypotheses such as uniform lower compactness property and locally uniform convergence of ƒ_α to ƒ. The result is applied to obtain some general lower semicontinuity theorems on multiple integrals with quasiconvex integrand ƒ, while ƒ_α are not required to be quasiconvex.

Résumé

On étudie la semi-continuité inférieure d'intégrales multiples avec des intégrandes convergentes. On prouve que, sous certaines hypothèses générales comme la propriété d'uniforme compacité inférieure et la convergence localement uniforme des intégrandes, la semi-continuité inférieure d'une fonctionnelle intégrale avec des intégrandes fixées et celle obtenue avec une suite d'intégrandes convergentes sont équivalentes. On applique le résultat pour obtenir des théorèmes généraux de semi-continuité inférieure sur des intégrales multiples avec des intégrandes quasi-convexes, alors que les intégrandes convergentes n'ont pas besoin d'être quasi-convexes, ce qui est utile dans les approximations numériques.