Lines vortices in the U(1) - Higgs model

Abstract

For a given U(1)-bundle E over M = \{x₁, ..., x_n}, where the x_i are n distinct points of , we minimise the U(1)-Higgs action and we make an asymptotic analysis of the minimizers when the coupling constant tends to infinity. We prove that the curvature (= magnetic field) converges to a limiting curvature that we give explicitely and which is singular along line vortices which connect the x_i. This work is the three dimensional equivalent of previous works in dimension two (see [3] and [4]). The results presented here were announced in [12].

Résumé

On considère un fibré en droite complexe sur un espace euclidien de dimension 3, moins un nombre fini de points, tel que ce fibré ne soit trivialisable sur aucune boule contenant exactement un de ces points mais soit trivialisable à l'infini. On minimise alors la fonctionnelle d'action de Higgs sur l'espace des sections et connections de ce fibré. L'objet de ce travail est de décrire le comportement des couples minimisants lorsque la constante de couplage du potentiel de Higgs tend vers l'infini. On démontre que la courbure des connections minimisantes converge fortement vers une courbure limite, pour une norme de Sobolev, en dehors d'une union de segments orientés, munis de multiplicités entères, qui réalisent un cycle de longueur minimale dans la classe duale de la première classe de Chern du fibré. Les sections minimisantes convergent, en dehors de cette union de segments, vers une section unité limite dont la vorticité, autour de ces lignes, est donnée par la multiplicité qu'elles portent.